493. Integral racionalne funkcije

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\frac{x^2+1}{x^3-x}}\space dx

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti imenilac na proste činioce.

\int{\frac{x^2+1}{x^3-x}}\space dx = \int{\frac{x^2+1}{x(x^2-1)}}\space dx = \int{\frac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)}}\space dx

Razlomak pod integralom rastaviti na proste razlomke, gde su $A, B$ i $C$ nepoznate konstante koje treba odrediti.

{\frac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}

Pomnožiti imeniocem $x(x-1)(x+1)$ obe strane jednačine.

x^2+1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)

Osloboditi se zagrada.

x^2+1 = Ax^2 - A + Bx^2 +Bx + Cx^2 - Cx

Grupisati sve članove izraza tako da se izdvoje oni uz $x^2,$ zatim oni uz $x$ i na kraju slobodni članovi.

x^2+1 = (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A

Da bi se jasnije uočili koeficijente uz ${x}$ i $x^2$ leva strana jednačine se može zapisati:

1 \cdot x^2+ 0 \cdot x + 1 = (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A

Koeficijenti uz iste stepene $x$ moraju biti jednaki sa obe strane jednačine. Izjednačavanjem koeficijenata dobija se sistem jednačina:

1. \quad A+B+C = 1

2. \quad B-C = 0

3. \quad -A = 1

Rešenje sistema je:

A=-1, \quad B=C=1

Vratiti se na rešavanje integrala.

\int{{\frac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)}}\space dx} = \int{\frac{A}{x}\space dx} + \int{\frac{B}{x-1}\space dx} + \int{\frac{C}{x+1}\space dx}

Uvrstiti izračunate vrednosti koeficijenata $A, B$ i $C$

\int{\frac{-1}{x}\space dx} + \int{\frac{1}{x-1}\space dx} + \int{\frac{1}{x+1}\space dx}

Uvesti smene: $t_1=x-1$ i $t_2=x+1$ primeniti tablični integral: $\int{\frac{1}{x}\space dx = \ln{|x| + C}}$

-\ln{|x|} + \ln{|x-1|} + \ln{|x+1|} +C

Srediti rešenje primenom pravila za logaritme: $\ln{x^n} = n\ln{x}$ i $\ln{(x \cdot y)} = \ln{x} + \ln{y}$

\ln{|x|^{-1}} + \ln{|x-1|} + \ln{|x+1|} +C = \ln{|\frac{(x-1)(x+1)}{x}|} + C

∫x2+1x3−xdx\int{\frac{x^2+1}{x^3-x}}dx∫x3−xx2+1​dx