Kružni integral korena iz 1 minus x na 2

TEKST ZADATKA

Odrediti integral:

\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}

REŠENJE ZADATKA

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\sqrt{1-x^2} \quad dv=\space dx

Primeniti pravilo složenog izvoda:

du= \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (1-x^2)'dx \quad v=x

du=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

x\sqrt{1-x^2}-\int{x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}

Srediti izraz:

x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}=x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{-x^2+1-1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\cancel{1-x^2}}{\cancel{\sqrt{1-x^2}}} \space dx}- \int{-\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}

Srediti izraz:

x\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}-\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}

Vratiti dobijeni rezultat u početni integral.

\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}=x\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}-\int{\sqrt{1-x^2} \space dx}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=x\sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}-I

Srediti izraz:

I=\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin{x}}{2}+C

Kruzni integral 3