Kružni integral korena iz 4 minus x na 2

Integral je potrebno rešiti metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv.$

u=\sqrt{4-x^2} \quad dv=\space dx

Primeniti pravilo za izvod složene funkcije:

du=\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}\cdot (4-x^2)'dx \quad v=x

du=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}dx \quad v=x

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

x\sqrt{4-x^2}-\int{x\cdot\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \space dx}

Srediti izraz:

x\sqrt{4-x^2}-\int{\frac{-x^2+4-4}{\sqrt{4-x^2}} \space dx}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

x\sqrt{4-x^2}-\int{\frac{-4}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}-\int{\frac{\cancel{4-x^2}}{\cancel{\sqrt{4-x^2}}} \space dx}

Izbaciti $4$ ispred razlomka i srediti izraz:

x\sqrt{4-x^2}+\int{\frac{\cancel{4}}{\cancel{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \space dx}-\int{\sqrt{4-x^2} \space dx}=x\sqrt{4-x^2}+\int{\frac{2}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \space dx}-\int{\sqrt{4-x^2} \space dx}

Uvodi se smena $\frac{x}{2}=t$ u integralu $\int{\frac{2}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}} \space dx}:$

\frac{dx}{2}=dt

Vratiti dobijeni izraz u prvobitni integral:

\int{\sqrt{4-x^2}\space dx}=x\sqrt{4-x^2}+4\int{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \space dt}-\int{\sqrt{4-x^2}\space dx}

Primetiti da je dobijen integral sa početka zadatka. Označiti početni integral, ujedno i traženi integral sa $I.$

I=x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin{t}-I

Vratiti smenu i srediti izraz:

2I=x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin{\frac{x}{2}}+C

I=\frac{x\sqrt{4-x^2}+4\arcsin{\frac{x}{2}}}{2}+C

Kruzni integral 4