Beskonačni geometrijski niz: zbir −4, odredi b2002

TEKST ZADATKA

Neka je $b_1, b_2, b_3,...,b_n,...$ geometrijska progresija sa količnikom q za koju važi da je zbir $b_1+b_2+...+b_n+...=-4$ i da je $b_4-b_1=7(q-1)^2.$ Odrediti $b_{2002}.$

REŠENJE ZADATKA

Zbog neodređenosti geometrijskog niza važi pravilo $-1<q<1$

Primeniti formulu za zbir neodređenog geometrijskog niza:

S=\frac{b_1}{1-q}=-4 \rArr b_1=-4(1-q)

Primeniti formulu za opšti član u navedenom izrazu: $b_4-b_1=7(q-1)^1$

b_1(q^3-1)=7(q-1)^2

Uvrstiti izraz za $b_1$

4\cancel{(q-1)(q-1)}(q^2+q+1)=7\cancel{(1-q)^2}

Sređivanjem izraza dobija se kvadratna jednačina $4q^2+4q-3=0$ sa rešenjima $q_1=-\frac{12}{8}$ i $q_2=\frac{1}{2}$

Zbog uslova zadatka uzima se samo rešenje $q=\frac{1}{2}$ i onda je $b_1=-2$

Primeniti formulu za opšti član geometrijskog niza:

b_{2002}=b_1\cdot q^{2001}=-\frac{1}{2^{2000}}

Započni učenje

Online časovi

15. Geometrijski niz

Beleške