Dokaz: zbir broja i obrnutog deljiv je sa 11

Neka je dati četvorocifreni broj označen sa $\overline{abcd} ,$ gde su $a, b, c, d$ njegove cifre i $a \neq 0 .$

Zapišimo ovaj broj u dekadnom sistemu.

\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d

Broj napisan istim ciframa, ali obrnutim redom, označavamo sa $\overline{dcba} .$ Njegov dekadni zapis je:

\overline{dcba} = 1000d + 100c + 10b + a

Zbir ova dva broja je:

S = \overline{abcd} + \overline{dcba} = (1000a + 100b + 10c + d) + (1000d + 100c + 10b + a)

Grupišemo odgovarajuće sabirke:

S = 1001a + 110b + 110c + 1001d

Primetimo da su brojevi 1001 i 110 deljivi sa 11. Računamo njihove količnike pri deljenju sa 11:

1001 = 11 \cdot 91, \quad 110 = 11 \cdot 10

Zamenjujemo ove vrednosti i izdvajamo zajednički činilac 11 ispred zagrade:

S = 11 \cdot 91a + 11 \cdot 10b + 11 \cdot 10c + 11 \cdot 91d = 11(91a + 10b + 10c + 91d)

Pošto su $a, b, c, d$ cifre (koje su celi brojevi), izraz u zagradi $91a + 10b + 10c + 91d$ je takođe ceo broj. Označimo ga sa $q .$

S = 11q, \quad q \in \mathbb{Z}

Na osnovu definicije deljivosti, zaključujemo da je zbir deljiv sa 11, čime je dokaz završen.

11 \mid S

173