523

Binomna formula: $(x+y)^n=\binom n0x^ny^0+\binom n1x^{n-1}y^1+\cdots+\binom nkx^{n-k}y^k+\cdots+\binom nnx^0y^n .$ $k$-ti član razvoja je $T_k=\binom n{k-1}x^{n-k+1}y^{k-1}$ ($k=1,\ldots,n+1$): u $k$-tom članu drugi sabirak ima izložilac $k-1 ,$ a prvi $n-(k-1) .$ Zgodno je pisati i $T_{j+1}=\binom njx^{n-j}y^j .$ Četvrti član od početka je $T_4=\binom n3n^{n-3}\left(\frac1n\right)^3 ,$ a četvrti od kraja je $T_{n-2}=\binom n{n-3}n^{3}\left(\frac1n\right)^{n-3}$ (simetrično, sabirci zamenjuju uloge). U proizvodu se svi stepeni od $n$ skrate ($n^{n-3}\cdot n^{-3}\cdot n^3\cdot n^{-(n-3)}=1$), a $\binom n{n-3}=\binom n3 :$

Proveravamo redom: $\binom83=56 ,$ $\binom93=84 ,$ $\binom{10}3=120 .$ Pošto $\binom n3$ raste sa $n ,$ jedino rešenje je $n=10 .$

Binomni koeficijenti $\binom{10}0,\ldots,\binom{10}{10}$ rastu do sredine pa opadaju, pa je najveći srednji: