524

Binomna formula: $(x+y)^n=\binom n0x^ny^0+\binom n1x^{n-1}y^1+\cdots+\binom nkx^{n-k}y^k+\cdots+\binom nnx^0y^n .$ $k$-ti član razvoja je $T_k=\binom n{k-1}x^{n-k+1}y^{k-1}$ ($k=1,\ldots,n+1$): u $k$-tom članu drugi sabirak ima izložilac $k-1 ,$ a prvi $n-(k-1) .$ Zgodno je pisati i $T_{j+1}=\binom njx^{n-j}y^j .$ Opšti član je $T_{j+1}=\binom{50}j(\sqrt2)^j .$ Upoređujemo susedne članove; skraćivanjem faktorijela:

Članovi rastu dok je količnik veći od $1 :$

Dakle, $T_1<T_2<\cdots<T_{30}$ (za $j=0,\ldots,28$ je količnik $>1$), a od $j=29$ dalje članovi opadaju ($T_{30}>T_{31}>\cdots$). Najveći je $T_{30}$ ($j=29$). Provera: $\frac{T_{30}}{T_{29}}=\frac{22}{29}\sqrt2\approx1{,}07>1$ i $\frac{T_{31}}{T_{30}}=\frac{21}{30}\sqrt2\approx0{,}99<1 .$