Podeli

528.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Odrediti broj racionalnih članova u razvoju $(\sqrt{6}+\sqrt[3]{3})^{1994} .$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=1994,$ $a=\sqrt{6} ,$ $b=\sqrt[3]{3}$

T_{k+1}=\binom{1994}{k} (\sqrt6)^{1994-k}(\sqrt[3]{3})^k=\binom{1994}{k} 6^{997-\frac {k}2}3^{\frac k3}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{1994}{k} (\sqrt6)^{1994-k}(\sqrt[3]{3})^k=\binom{1994}{k} (6^{\frac 12})^{1994-k}(3^{\frac 13})^k=\binom{1994}{k} 6^{\frac {1994-k}2}3^{\frac k3}=\binom{1994}{k} 6^{997-\frac {k}2}3^{\frac k3}

Da bi izraz $\binom{1994}{k} 6^{997-\frac {k}2}3^{\frac k3}$ bio racionalan broj eksponenti $\frac{k}{2}$ i $\frac{k}{3}$ moraju biti celi brojevi, što se dešava kada je $k$ deljivo sa $2$ i sa $3,$ odnosno kada je $k$ deljivo sa $6.$

Potrebno je odrediti koliko ima brojeva $k$ u intervalu $0 \le k \le 1994$ koji su deljivi sa $6.$

Brojevi koji ispunjavaju ovaj uslov čine aritmetički niz, gde je prvi član niza: $a_1=0,$ a poslednji: $a_n=1992$ (jer je to najveći broj u intervalu deljiv sa 6), a razlika izmedju svaka dva broja je $d=6.$

Primeniti formula za određivanje broja elemenata aritmetičkog niza kada su poznati prvi član $a_1,$ poslednji član $a_n$ i razlika $d:$ $n=\frac{a_n-a_1}{d} + 1$

n = \frac{1992-0}{6} + 1 = 332+1 = 333

528.Zadatak

528.
Zadatak