Binomni razvoj: broj članova koji su celi brojevi

TEKST ZADATKA

U razvoju $(\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{2})^{2012}$ odrediti broj članova koji su celi brojevi.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=2012,$ $a=\sqrt[4]{3},$ $b=\sqrt[3]{2}$

T_{k+1}=\binom{2012}{k}(\sqrt[4]{3})^{2012-k}(\sqrt[3]{2})^k=\binom{2012}{k}3^{503-\frac {k}4} \cdot 2^{\frac k3}

Da bi izraz $\binom{2012}{k} \ 3^{503-\frac {k}4} \cdot 2^{\frac k3}$ bio ceo broj eksponenti $\frac{k}{4}$ i $\frac{k}{3}$ moraju biti celi brojevi, što se dešava kada je $k$ deljivo sa $4$ i sa $3,$ odnosno kada je $k$ deljivo sa $12.$

Potrebno je odrediti koliko ima brojeva $k$ u intervalu $0 \le k \le 2012$ koji su deljivi sa $12.$ Takvih $k$ vrednosti ima:

\frac{2012}{12} = 167,67

Zaokružiti rezultat na najveći ceo broj koji ne prelazi vrednost $2012/12.$

\left\lfloor \frac{2012}{12} \right\rfloor= 167

Broj $k=0$ takođe ispunjava uslove da bude deljiv sa $12$ i da pripada intervalu $0 \le k \le 2012 ,$ ali nije među 167 mogućih vrednosti za $k,$ pa ga je potrebno dodati kao još jednu validnu vrednost.

\left\lfloor \frac{2012}{12} \right\rfloor + 1= 168

Ukupno postoji $168$ elemenata binomnog razvoja koji su celi brojevi.

Započni učenje

Online časovi

30. Binomna formula

Beleške