482. Zadatak | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

U razvoju binoma $(\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{y}{x})^{n},$ $x \neq 0,$ $n \in \mathbb{N}$ odrediti član koji ne sadrži $x$ ako je binomni koeficijent trećeg člana veći za $5$ od binomnog koeficijenta drugog člana.

REŠENJE ZADATKA

Izraz se može drugačije zapisati:

(\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{y}{x})^{n} = (x^{\frac{2}{3}} + x^{-1}y)^{n}

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=x^{\frac{2}{3}},$ $b=x^{-1}y$

T_{k} = \binom{n}{k} (x^{\frac{2}{3}})^{n-k} (x^{-1})^k y^k = \binom{n}{k} x^{\frac{2}{3}(n-k)} x^{-k} y^k

T_{k} = \binom{n}{k} x^{(\frac{2}{3}n - \frac{2}{3}k - k)} y^k = \binom{n}{k} x^{\frac{2n-2k-3k}{3}} y^k = \binom{n}{k} x^{\frac{2n-5k}{3}} y^k

Za član koji ne sadrži $x,$ važi da eksponent uz $x$ mora da bude jednak $0.$

\frac{2n-5k}{3} = 0 \quad \implies \quad k=\frac{2}{5}n

Postaviti uslov da binomni koeficijent trećeg člana bude veći za $5$ od binomnog koeficijenta drugog člana:

\binom{n}{2} = \binom{n}{1} + 5

Primeniti formulu za binomni koeficijent: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}$

\frac{n!}{(n-2)! \space 2!} = \frac{n!}{(n-1)! \space 1!} + 5

Srediti obe strane jednačine.

\frac{n (n-1) (n-2)!}{(n-2)! \space 2} = \frac{n (n-1)!}{(n-1)! } + 5

\frac{n (n-1) }{2} = n + 5

n (n-1) = 2n + 10

n^2-3n -10 = 0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$ gde su $a=1,$ $b=-3,$ $c=-10.$

n = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}

Dva rešenja su:

n_1 = \frac{10}{2}=5 \quad \lor \quad n_2 = \frac{-4}{2}=-2

Pošto $n \in \mathbb{N}$ uzima se rešenje:

n = 5

Uvrstiti $n=5$ u izraz: $k=\frac{2}{5}n$

k =\frac{2}{5} \cdot 5 = 2

Traženi član koji ne sadrži $x$ je:

T_{2} = \binom{5}{2} x^{\frac{2\cdot5-5\cdot2}{3}} y^2 = \binom{5}{2} x^{\frac{2\cdot5-5\cdot2}{3}} y^2 = 10y^2

2. Binomna formula