Podeli

524.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Odrediti član razvoja binoma $\big(\sqrt{\frac b a}+\sqrt[10]{\frac {a^7} {b^3}}\big)^n$ koji sadrži $ab.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k$

T_{k+1}=\binom{n}{k} \bigg(\sqrt{\frac b a}\bigg)^{n-k}\bigg(\sqrt[10]{\frac {a^7} {b^3}}\bigg)^k=\binom{n}{k} b^{\frac {5n-8k} {10}} a^{\frac {-5n+12k}{10}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{n}{k} \bigg(\sqrt{\frac b a}\bigg)^{n-k}\bigg(\sqrt[10]{\frac {a^7} {b^3}}\bigg)^k=\binom{n}{k} (b^{\frac 12} a^{-\frac 12})^{n-k}(a^{\frac 7 {10}}b^{-\frac 3 {10}})^k=\binom{n}{k} b^{\frac {n-k}2} a^{-\frac {n-k}2}a^{\frac {7k} {10}}b^{-\frac {3k} {10}}=\binom{n}{k} b^{\frac {n-k}2} a^{\frac {-n+k}2}a^{\frac {7k} {10}}b^{\frac {-3k} {10}}=\binom{n}{k} b^{\frac {n-k}2-\frac {3k} {10}} a^{\frac {-n+k}2+\frac {7k} {10}}=\binom{n}{k} b^{\frac {5n-5k-3k} {10}} a^{\frac {-5n+5k+7k}{10}}=\binom{n}{k} b^{\frac {5n-8k} {10}} a^{\frac {-5n+12k}{10}}

Postaviti uslov iz zadatka:

a^{\frac {-5n+12k}{10}}b^{\frac {5n-8k} {10}} =ab \implies \frac {-5n+12k}{10}=1 \quad \land \quad \frac {5n-8k} {10}=1

Rešavanjem sistema jednačina dobija se:

k=5, \quad n=10

DODATNO OBJAŠNJENJE

1) \space \frac {-5n+12k}{10}=1 \quad 2) \space \frac {5n-8k} {10}=1

1) \space -5n+12k=10 \quad 2) \space5n-8k=10

(1)+(2):\quad -5n+12k+5n-8k=10+10

4k=20 \implies k=5

5n-8\cdot 5=10

5n-40=10

5n=50 \implies n=10

Uvrštavanjem dobijenih vrednosti za $k$ i $n$ dobija se:

\binom {10} 5ab=252ab

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom {10} 5=\frac {10!} {(10-5)! \ 5!}=\frac {10!} {5! \ 5!}=\frac {10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\cdot 5!} {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}=\frac {10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=252

524.Zadatak