Član koji sadrži proizvod ab u razvoju

TEKST ZADATKA

Odrediti član razvoja binoma $\big(\sqrt{\frac b a}+\sqrt[10]{\frac {a^7} {b^3}}\big)^n$ koji sadrži $ab.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k$

T_{k+1}=\binom{n}{k} \bigg(\sqrt{\frac b a}\bigg)^{n-k}\bigg(\sqrt[10]{\frac {a^7} {b^3}}\bigg)^k=\binom{n}{k} b^{\frac {5n-8k} {10}} a^{\frac {-5n+12k}{10}}

Postaviti uslov iz zadatka:

a^{\frac {-5n+12k}{10}}b^{\frac {5n-8k} {10}} =ab \implies \frac {-5n+12k}{10}=1 \quad \land \quad \frac {5n-8k} {10}=1

Rešavanjem sistema jednačina dobija se:

k=5, \quad n=10

Uvrštavanjem dobijenih vrednosti za $k$ i $n$ dobija se:

\binom {10} 5ab=252ab

25. Binomna formula