Podeli

523.
Zadatak

TEKST ZADATKA

U razvoju stepena binoma $(\sqrt[3]{x^2}+x)^7$ jedan član je $ax^2.$ Odrediti $a.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=7,$ $a=\sqrt[3]{x^2} ,$ $b=x$

T_{k+1}=\binom{7}{k} (\sqrt[3]{x^2})^{7-k}x^k=\binom{7}{k} x^{\frac {-14+5k} 3}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{7}{k} (\sqrt[3]{x^{-2}})^{7-k}x^k=\binom{7}{k} (x^{-\frac 2 3})^{7-k}x^k=\binom{7}{k} x^{\frac {-2(7-k)} 3}x^k=\binom{7}{k} x^{\frac {-14+2k} 3+k}=\binom{7}{k} x^{\frac {-14+2k+3k} 3}=\binom{7}{k} x^{\frac {-14+5k} 3}

Postaviti uslov iz zadatka.

x^{\frac {-14+5k} 3}=x^2 \implies \frac {-14+5k} 3=2

Rešavanjem jednačine dobija se:

k=4

DODATNO OBJAŠNJENJE

-14+5k=6

5k=6+14

5k=20

Odrediti član razvoja koji odgovara $k=4$ po formuli:

T_5=\binom{7}{4}x^2= 35x^2

DODATNO OBJAŠNJENJE

Primeniti formulu za binomni koeficijent: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}.$

\binom{7}{4} = \frac {7!} {(7-4)!\ 4!}=\frac {7!} {3!\ 4!}=\frac {7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!} {3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!}=\frac {7 \cdot 6 \cdot 5} {3 \cdot 2 \cdot 1}=35

Traženo $a$ koje stoji uz $x^2$ jednako je:

a=35

523.Zadatak