Podeli

522.
Zadatak

TEKST ZADATKA

U razvoju $\big(a-\frac 1 {\sqrt{a}}\big)^7$ odrediti koeficijent člana koji sadrži $a^{-\frac 12} .$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=7$

T_{k+1}=\binom{7}{k} a^{7-k}(-1)^k\bigg(\frac 1 {\sqrt{a}}\bigg)^k=\binom{7}{k} (-1)^k a^{\frac {14-3k}2}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{7}{k} a^{7-k}(-1)^k \bigg(\frac 1 {\sqrt{a}}\bigg)^k=\binom{7}{k} a^{7-k}(-1)^k (a^{-\frac 12})^k=\binom{7}{k} a^{7-k}(-1)^k a^{-\frac k2}=\binom{7}{k} (-1)^k a^{7-k-\frac k2}=\binom{7}{k}(-1)^k a^{\frac {14-2k-k}2}=\binom{7}{k} (-1)^k a^{\frac {14-3k}2}

Postaviti uslov iz zadatka:

a^{\frac{14-3k}{2}}=a^{-\frac 1 2}\implies \frac {14-3k}2=-\frac 12

Rešavanjem jednačine dobija se:

k=5

DODATNO OBJAŠNJENJE

14-3k=-1

3k=15

Uvrštavanjem dobijene vrednosti za $k$ dobija se koeficijent traženog člana:

\binom 7 5(-1)^7=-\frac {7!} {(7-5)! \ 5!}=-\frac {7!} {2! \ 5!}=-\frac {7\cdot 6 \cdot 5!} {2\cdot 1\cdot \ 5!}=-\frac {7\cdot 6} {2}=-21

522.Zadatak