Broj k iz odnosa tri uzastopna člana razvoja

TEKST ZADATKA

Neka je $a_k$ oznaka za $k$ -ti član $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^n .$ Ako je $a_{k+2}:a_{k+1}:a_k=28:8\sqrt{6}:9 ,$ odrediti $k.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=\sqrt{3}$ , $b=\sqrt2$

T_{k+1}=\binom{n}{k} (\sqrt{3})^{n-k}(\sqrt{2})^k=\binom{n}{k} (3^{\frac 12})^{n-k}(2^{\frac 12})^k=\binom{n}{k} 3^{\frac {n-k}2}2^{\frac k2}

Iz postavke zadatka važi proporcija:

3^{\frac {n-k-2}2}2^{\frac {k+2}2}:3^{\frac {n-k-1}2}2^{\frac {k+1}2}:3^{\frac {n-k}2}2^{\frac k2}=28:8\sqrt{6}:9

Dobija se sistem jednačina:

3^{\frac {n-k-2}2}2^{\frac {k+2}2}=9, \quad 3^{\frac {n-k-1}2}2^{\frac {k+1}2}=8\sqrt{6}, \quad 3^{\frac {n-k}2}2^{\frac k2}=28

22. Binomna formula