Podeli

520.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Naći redni broj člana razvoja binoma $\big(x^{\frac 32}+x^{-\frac 13})^n$ koji sadrži $x^5.$ Koeficijent trećeg člana je 21.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a= x^{\frac 32},$ $b=x^{-\frac 13}$

T_{k+1}=\binom{n}{k} (x^{\frac 32})^{n-2} (x^{-\frac 13})^2=\binom{n}{k} x^{\frac {9n-11k}6}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{n}{k} (x^{\frac 32})^{n-k} (x^{-\frac 13})^k=\binom{n}{k} x^{\frac {3(n-k)}2} x^{-\frac k3}=\binom{n}{k} x^{\frac {3n-3k}2-\frac k3}=\binom{n}{k} x^{\frac {9n-9k-2k}6}=\binom{n}{k} x^{\frac {9n-11k}6}

Iz postavke zadatka važi da je koeficijent trećeg člana 21, odakle se dobija rešenje za $n:$

\binom n 2=21 \implies n=7

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom n 2=\frac {n!} {(n-2)! \ 2!}=\frac {n(n-1)(n-2)!} {(n-2)! \ 2\cdot 1}=\frac {n(n-1)} {2}

\frac {n(n-1)} {2}=21

n^2-n=42

n^2-n-42=0

n_{1,2}=\frac {1 \pm \sqrt{1+168}} 2

n_{1,2}=\frac {1 \pm 13} 2

n_1=7 \lor n_2=-6,\quad n\in N \implies \ n=7

Redni broj člana koji sadrži $x^5$ dobija se izjednačavanjem eksponenata i uvrštavanjem dobijene vrednosti za $n:$

x^{\frac {9\cdot 7-11k}6}=x^5 \implies \frac {63-11k}6=5

DODATNO OBJAŠNJENJE

63-11k=30

11k=63-30

11k=33

Rešavanjem jednačine dobija se da je u pitanju četvrti član:

k=3

520.Zadatak