Redni broj člana koji sadrži x na 5

TEKST ZADATKA

Naći redni broj člana razvoja binoma $\big(x^{\frac 32}+x^{-\frac 13})^n$ koji sadrži $x^5.$ Koeficijent trećeg člana je 21.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a= x^{\frac 32},$ $b=x^{-\frac 13}$

T_{k+1}=\binom{n}{k} (x^{\frac 32})^{n-2} (x^{-\frac 13})^2=\binom{n}{k} x^{\frac {9n-11k}6}

Iz postavke zadatka važi da je koeficijent trećeg člana 21, odakle se dobija rešenje za $n:$

\binom n 2=21 \implies n=7

Redni broj člana koji sadrži $x^5$ dobija se izjednačavanjem eksponenata i uvrštavanjem dobijene vrednosti za $n:$

x^{\frac {9\cdot 7-11k}6}=x^5 \implies \frac {63-11k}6=5

Rešavanjem jednačine dobija se da je u pitanju četvrti član:

k=3

21. Binomna formula