Podeli

518.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Naći redni broj člana razvoja binoma $\bigg( \sqrt[3]{\frac a {\sqrt{b}}}+\sqrt{\frac b {\sqrt[3]{a}}} \bigg)^{21}$ koji sadrži $a$ i $b$ sa jednakim eksponentom.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=21$

T_{k+1}=\binom{21}{k} \bigg(\sqrt[3]{\frac a {\sqrt{b}}}\bigg)^{21-k}\bigg(\sqrt{\frac b {\sqrt[3]{a}}}\bigg)^k=\binom{21}{k}a^{\frac {42-3k} 6}b^{\frac {-21+4k}6}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{21}{k} \bigg(\sqrt[3]{\frac a {\sqrt{b}}}\bigg)^{21-k}\bigg(\sqrt{\frac b {\sqrt[3]{a}}}\bigg)^k=\binom{21}{k}\big(a^{\frac 13}b^{-\frac 12 \cdot\frac 13}\big)^{21-k}\big(b^{\frac 12}a^{-\frac 13\cdot \frac 12}\big)^k=\binom{21}{k}a^{\frac {21-k} 3}b^{-\frac {21-k}6}b^{\frac k2}a^{-\frac k6}=\binom{21}{k}a^{\frac {21-k} 3-\frac k6}b^{-\frac {21-k}6+\frac k2}=\binom{21}{k}a^{\frac {42-2k-k} 6}b^{\frac {-21+k+3k}6}=\binom{21}{k}a^{\frac {42-3k} 6}b^{\frac {-21+4k}6}

Iz postavke zadatka važi:

\frac {42-3k} 6=\frac {-21+4k}6

Rešavanjem jednačine dobija se da je u pitanju deseti član:

k=9

DODATNO OBJAŠNJENJE

42-3k=-21+4k

7k=63

518.Zadatak

518.
Zadatak