Član bez x ako je zbir tri koeficijenta 46

TEKST ZADATKA

Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u razvoju $\big(x^2+\frac 1 x\big)^m, m\in N, x\not=0,$ je 46. Naći član koji ne sadrži $x.$

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslov da je zbir prvog, drugog i trećeg člana razvoja $46.$

\binom m 0+\binom m1+\binom m2=46

Primeniti formulu za binomni koeficijent: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}.$

\frac {m!} {(m-0)! \space 0!}+\frac {m!} {(m-1)! \space 1!}+\frac {m!} {(m-2)! \space 2!} = 46

Srediti izraz.

\frac {m!} {m!}+\frac {m(m-1)!} {(m-1)! \space 1}+\frac {m(m-1)(m-2)!} {(m-2)! \space 2\cdot1}=46

1+m+\frac {m(m-1)}2 = 46

Dobija se kvadratna jednačina.

m^2+m-90=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: $m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$ gde su $a=1,$ $b=1,$ $c=-90.$

m_1=-10 \quad \lor \quad m_2=9

Pošto $m \in \mathbb{N},$ prihvatljivo rešenje je:

m=9

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=m=9$

T_{k+1}=\binom{9}{k} (x^2)^{9-k}\bigg(\frac 1x\bigg)^k=\binom{9}{k} x^{18-3k}

Potrebno je pronaći član koji ne sadrži $x,$ što znači da eksponent uz $x$ treba biti jednak nuli.

18-3k=0 \ \implies \ k=6

Traženi član binomnog razvoja koji ne sadrži $x$ odgovara $k=6,$ a pošto indeksiranje počinje od 0, to je sedmi član.

T_7=\binom{9}{6} x^{18-3\cdot 6}=84

11. Binomna formula