Podeli

504.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Naći peti član u razvoju binoma $(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^n,$ ako je koeficijent trećeg člana jednak 78.

REŠENJE ZADATKA

Izračunati $n$ na osnovu podataka datih u postavci zadatka:

\binom n 2=78 \implies n=13

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {n!} {(n-2)!\space 2!}=\frac {n(n-1)(n-2)!} {(n-2)!\space 2\cdot 1}=\frac {n(n-1)} {2}

\frac {n(n-1)} {2}=78

n(n-1)=156

n^2-n-156=0

n_{1,2}=\frac {1 \pm \sqrt{1+624}} 2

n_{1,2}=\frac {1 \pm 25} 2

n_1=-12\lor n_2=13,\quad n\in N \implies n=13

Odrediti peti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=13$

T_{5}=\binom{13}{4} (\sqrt{1+x})^{13-4}(-1)^4(\sqrt{1-x})^4=715 (1+x)^4 \sqrt{1+x}(1-x)^2

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom {13} 4= \frac{13!}{(13-4)! \space 4!}=\frac{13!}{9!\space 4!} = \frac{13\cdot 12 \cdot 11 \cdot10 \cdot 9!}{9! \ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot1} = \frac{13\cdot 12 \cdot 11 \cdot10 }{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot1}=715

(\sqrt{1+x})^{13-4}(-1)^4(\sqrt{1-x})^4=(\sqrt{1+x})^{9}(\sqrt{1-x})^4=(1+x)^4 \sqrt{1+x}(1-x)^2

504.Zadatak