503.

Zadatak

TEKST ZADATKA

Zbir koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u razvoju (x2+1x)m,m∈N,x≠0, \big(x^2+\frac 1 x\big)^m, m\in N, x\not=0, je 46. Naći član koji ne sadrži x.x.

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslov da je zbir prvog, drugog i trećeg člana razvoja 46.46.

(m0)+(m1)+(m2)=46\binom m 0+\binom m1+\binom m2=46

Primeniti formulu za binomni koeficijent: (nk)=n!(n−k)! k!.\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}.

m!(m−0)! 0!+m!(m−1)! 1!+m!(m−2)! 2!=46\frac {m!} {(m-0)! \space 0!}+\frac {m!} {(m-1)! \space 1!}+\frac {m!} {(m-2)! \space 2!} = 46

Srediti izraz.

m!m!+m(m−1)!(m−1)! 1+m(m−1)(m−2)!(m−2)! 2⋅1=46\frac {m!} {m!}+\frac {m(m-1)!} {(m-1)! \space 1}+\frac {m(m-1)(m-2)!} {(m-2)! \space 2\cdot1}=46
1+m+m(m−1)2=461+m+\frac {m(m-1)}2 = 46

Dobija se kvadratna jednačina.

m2+m−90=0m^2+m-90=0

Rešiti kvadratnu jednačinu po formuli: m1,2=−b±b2−4ac2a,m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}, gde su a=1,a=1, b=1,b=1, c=−90.c=-90.

m1=−10∨m2=9m_1=-10 \quad \lor \quad m_2=9

Pošto m∈N,m \in \mathbb{N}, prihvatljivo rešenje je:

m=9m=9

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: Tk+1=(nk)a(n−k)bk,T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k, gde je:n=m=9n=m=9

Tk+1=(9k)(x2)9−k(1x)k=(9k)x18−3kT_{k+1}=\binom{9}{k} (x^2)^{9-k}\bigg(\frac 1x\bigg)^k=\binom{9}{k} x^{18-3k}
DODATNO OBJAŠNJENJE

Potrebno je pronaći član koji ne sadrži x,x, što znači da eksponent uz xx treba biti jednak nuli.

18−3k=0   ⟹   k=618-3k=0 \ \implies \ k=6

Traženi član binomnog razvoja koji ne sadrži xx odgovara k=6,k=6, a pošto indeksiranje počinje od 0, to je sedmi član.

T7=(96)x18−3⋅6=84T_7=\binom{9}{6} x^{18-3\cdot 6}=84
DODATNO OBJAŠNJENJE

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2025

Politika privatnosti