Srednji član u razvoju sa stepenima broja a

TEKST ZADATKA

Naći srednji član u razvoju binoma $\bigg(a^{-2}\sqrt{a}-\sqrt[5]{\frac {a^{-2}} {\sqrt{a}}} \bigg)^m, a>0, m\in N ,$ ako se zna da se koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao $14:3 .$

REŠENJE ZADATKA

Postaviti uslov da se binomni koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao $14:3 .$

\binom m 4:\binom m 2=14:3

Primeniti formulu za binomni koeficijent: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \space k!}.$

\frac {m!} {(m-4)! \ 4!}:\frac {m!} {(m-2)! \ 2!}=14:3

Rešavanjem jednačine dobija se:

m=10

Odrediti srednji član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} x^{(n-k)} y^k,$ gde su: $n=m=10,$ $k=5,$ $x=a^{-2} \cdot \sqrt{a}=a^{-\frac 3 2}$ i $y=\sqrt[5]{\frac {a^{-2}} {\sqrt{a}}} = a^{- \frac{5}{10}}$

T_{6}=\binom{10}{5} (a^{-\frac 3 2})^{10-5} (-a^{- \frac{5}{10}})^5=(-1)^5 \cdot 252 \cdot a^{-\frac{15}{2}-\frac{25}{10}} = -252 a^{-\frac{100}{10}} = -252 a^{-10}

Započni učenje

Online časovi

10. Binomna formula

Beleške