Podeli

511.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Odrediti član koji u binomnom razvoju $\bigg(\sqrt[4]{a^2x}+\sqrt[5]{\frac 1 {ax^2}} \bigg)^{13}$ ne sadrži $x.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=13$

T_{k+1}=\binom{13}{k} (\sqrt[4]{a^2x})^{13-k} \bigg(\sqrt[5]{\frac 1 {ax^2}}\bigg)^k =\binom{13}{k} a^{\frac {65-7k}{10}}x^{\frac {65-13k}{20}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{13}{k} (\sqrt[4]{a^2x})^{13-k} \bigg(\sqrt[5]{\frac 1 {ax^2}}\bigg)^k=\binom{13}{k} \big((a^2)^{\frac 14}x^{\frac 14}\big)^{13-k}\big(a^{-\frac 15}(x^2)^{-\frac 15}\big)^k=\binom{13}{k} \big(a^{\frac 24}x^{\frac 14}\big)^{13-k}\big(a^{-\frac 15}x^{-\frac 25}\big)^k=\binom{13}{k} a^{\frac 12(13-k)}x^{\frac 14(13-k)}a^{-\frac 15k}x^{-\frac 25k}=\binom{13}{k} a^{\frac {13}2-\frac k2-\frac k5}x^{\frac {13} 4-\frac k4-\frac 25k}=\binom{13}{k} a^{\frac {65-5k-2k}{10}}x^{\frac {65-5k-8k}{20}}=\binom{13}{k} a^{\frac {65-7k}{10}}x^{\frac {65-13k}{20}}

Potrebno je pronaći član koji ne sadrži $x,$ što znači da eksponent uz $x$ treba biti jednak nuli.

x^{\frac {65-13k}{20}} \implies \frac {65-13k}{20}=0

Rešavanjem jednačine dobija se:

k=5

DODATNO OBJAŠNJENJE

65-13k=0

13k=65

Kako je $k=5$ i indeksiranje počinje od 0, zaključuje se da je u pitanju šesti član niza.

T_{6}=\binom{13}{6} a^{\frac {65-7\cdot 5}{10}}x^{\frac {65-13\cdot 5}{20}}=1716a^3

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{13}{6} = \frac{13!}{(13-6)! \space 6!}=\frac{13!}{7!\space 6!} = \frac{13\cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \ 6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{13\cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 }{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=1716

511.Zadatak