Član bez x u razvoju sa četvrtim i petim korenom

TEKST ZADATKA

Odrediti član koji u binomnom razvoju $\bigg(\sqrt[4]{a^2x}+\sqrt[5]{\frac 1 {ax^2}} \bigg)^{13}$ ne sadrži $x.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=13$

T_{k+1}=\binom{13}{k} (\sqrt[4]{a^2x})^{13-k} \bigg(\sqrt[5]{\frac 1 {ax^2}}\bigg)^k =\binom{13}{k} a^{\frac {65-7k}{10}}x^{\frac {65-13k}{20}}

Potrebno je pronaći član koji ne sadrži $x,$ što znači da eksponent uz $x$ treba biti jednak nuli.

x^{\frac {65-13k}{20}} \implies \frac {65-13k}{20}=0

Rešavanjem jednačine dobija se:

k=5

Kako je $k=5$ i indeksiranje počinje od 0, zaključuje se da je u pitanju šesti član niza.

T_{6}=\binom{13}{6} a^{\frac {65-7\cdot 5}{10}}x^{\frac {65-13\cdot 5}{20}}=1716a^3

15. Binomna formula