Podeli

512.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Koeficijent uz $x$ u trećem članu binomnog razvoja $\big(x^2-\frac 1 4 \big)^n$ jednak je 31. Odrediti $n.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $k=2$

T_{3}=\binom{n}{2} (x^2)^{n-2}(-1)^2 \bigg(\frac 1 4\bigg)^2=\binom{n}{2} x^{2n-4} \frac 1 {16}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{n}{2} (x^2)^{n-2}(-1)^2 \bigg(\frac 1 4\bigg)^2=\binom{n}{2} x^{2n-4} (4^{-1})^2=\binom{n}{2} x^{2n-4} \frac 1 {16}

Izračunati $n$ na osnovu podataka datih u postavci zadatka, uz to da je $\binom n 2\cdot\frac 1 {16}$ koeficijent koji stoji uz $x$ :

\binom n 2\cdot\frac 1 {16} =31 \implies \frac {n!} {(n-2)! \ 2!}\cdot \frac 1{16}=31

Rešavanjem jednačine dobija se:

n=32

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {n(n-1)(n-2)!} {(n-2)! \ 2\cdot 1\cdot 16}=31

\frac {n(n-1)} {32}=31

n^2-n=992

n^2-n-992=0

n_{1,2}=\frac {1 \pm \sqrt{1+3968}} 2

n_{1,2}=\frac {1 \pm 63} 2

n_1=-31 \lor n_2=32,\quad n\in N \implies n=32

512.Zadatak