Podeli

513.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Treći član u razvoju $\big(2x+\frac 1 {x^2} \big)^m, \ x\not=0, \ m\in N$ ne sadrži $x.$ Odrediti sve vrednosti za $x$ tako da taj član bude jednak drugom članu u razvoju $(1+x^3)^{30} .$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti treći član binomnog razvoja $\big(2x+\frac 1 {x^2} \big)^m$ po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=2x,$ $b=\frac 1 {x^2},$ $k=2$

T_{3}=\binom{m}{2} (2x)^{m-2}\bigg(\frac 1 {x^2}\bigg)^2=\binom{m}{2} 2^{m-2}x^{m-6}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{m}{2} (2x)^{m-2}\bigg(\frac 1 {x^2}\bigg)^2=\binom{m}{2} 2^{m-2}x^{m-2}(x^{-2})^2=\binom{m}{2} 2^{m-2}x^{m-2}x^{-4}=\binom{m}{2} 2^{m-2}x^{m-2-4}=\binom{m}{2} 2^{m-2}x^{m-6}

Kako, po uslovu zadatka, treći član ne sadrži $x,$ treba odrediti $m$ tako da eksponent uz $x$ bude jednak nuli:

m-6=0 \implies m=6

Tada je treći član jednak:

T_{3}=\binom{6}{2} 2^{6-2}x^{6-6}=15\cdot 2^4=15\cdot 16=240

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{6}{2} = \frac{6!}{(6-2)! \space 2!}=\frac{6!}{4!\space 2!} =\frac{6\cdot 5 \cdot 4! }{4!\cdot2 \cdot 1}= \frac{6\cdot 5 }{2} = 15

Odrediti drugi član binomnog razvoja $(1+x^3)^{30}$ po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=1,$ $b=x^3,$ $k=1,$ $n=30$

T_{2}=\binom{30}{1} 1^{30-1}(x^3)^1=30x^3

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{30}{1} = \frac{30!}{(30-1)! \space 1!}=\frac{30!}{29!} =\frac{30\cdot29! }{29!}= 30

Iz postavke zadatka važi:

30x^3=240

DODATNO OBJAŠNJENJE

x^3=8

Rešavanjem jednačine dobija se:

x_1=2 \lor x_{2,3}=-1\pm i\sqrt3

513.Zadatak

513.
Zadatak