Podeli

514.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Odrediti $x$ tako da četvrti član u razvoju binoma $(\sqrt{x^{\frac 1 {\lg{x}+1}}}+\sqrt[12]{x})^6$ bude jednak 200.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti četvrti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a= \sqrt{x^{\frac 1 {\lg{x}+1}}},$ $b=\sqrt[12]{x},$ $n=6,$ $k=3$

T_{4}=\binom{6}{3} (\sqrt{x^{\frac 1 {\lg{x}+1}}})^{6-3} (\sqrt[12]{x})^3=20x^{\frac {7+\lg{x}} {4(\lg{x}+1)}}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{6}{3} = \frac{6!}{(6-3)! \space 3!}=\frac{6!}{3!\space 6!} = \frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3! \ 3\cdot 2 \cdot 1 } = \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2 \cdot 1 }=20

(\sqrt{x^{\frac 1 {\lg{x}+1}}})^{6-3} (\sqrt[12]{x})^3=(x^{\frac 12\cdot\frac 1 {\lg{x}+1}})^3 (x^{\frac 1 {12}})^3=x^{\frac 3 {2\lg{x}+2}} x^{\frac 3 {12}}=x^{\frac 3 {2\lg{x}+2}+\frac 1 4}=x^{\frac {12+2\lg{x}+2} {4(2\lg{x}+2)}}=x^{\frac {14+2\lg{x}} {8\lg{x}+8}}=x^{\frac {2(7+\lg{x})} {8(\lg{x}+1)}}=x^{\frac {7+\lg{x}} {4(\lg{x}+1)}}

Iz postavke zadatka važi:

20x^{\frac {7+\lg{x}} {4(\lg{x}+1)}}=200

DODATNO OBJAŠNJENJE

x^{\frac {7+\lg{x}} {4(\lg{x}+1)}}=10

\frac {(7+\lg{x})\lg{x}} {4(\lg{x}+1)}=\log10

\frac {(7+\lg{x})\lg{x}} {4(\lg{x}+1)}=1

(7+\lg{x})\lg{x}=4(\lg{x}+1)

7\lg{x}+\lg^2{x}=4\lg{x}+4

\lg^2{x}+3\lg{x}-4=0 \implies t^2+3t-4=0

t_{1,2}=\frac {-3 \pm \sqrt{9+16}} 2

t_{1,2}=\frac {-3 \pm 5} 2

t_1=-4 \lor t_2=1,\quad \implies \lg{x}=-4 \lor \lg{x}=1

Rešavanjem jednačine dobija se:

x_1=10^{-4} \lor x_2=10

514.Zadatak

514.
Zadatak