Podeli

517.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Koji član razvoja binoma $\big(\frac 3 4\sqrt[3]{a^2}+\frac 2 3\sqrt{a}\big)^{12}$ sadrži $a^7?$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=\frac 3 4\sqrt[3]{a^2},$ $b=\frac 2 3\sqrt{a},$ $n=12$

T_{k+1}=\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\sqrt[3]{a^2}\bigg)^{12-k}\bigg(\frac 23\sqrt{a}\bigg)^k=\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\bigg)^{12-k}\bigg(\frac 23\bigg)^ka^{8-\frac {k}6}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\sqrt[3]{a^2}\bigg)^{12-k}\bigg(\frac 23\sqrt{a}\bigg)^k=\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\bigg)^{12-k}(a^{\frac 23})^{12-k}\bigg(\frac 23\bigg)^k(a^{\frac 12})^k=\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\bigg)^{12-k}\bigg(\frac 23\bigg)^ka^{\frac 23(12-k)}a^{\frac k2}=\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\bigg)^{12-k}\bigg(\frac 23\bigg)^ka^{8-\frac {2k}3+\frac k2}=\binom{12}{k} \bigg(\frac 3 4\bigg)^{12-k}\bigg(\frac 23\bigg)^ka^{8-\frac {k}6}

Iz postavke zadatka važi:

a^{8-\frac {k}6}=a^7 \implies 8-\frac {k}6=7

Rešavanjem jednačine dobija se da je u pitanju sedmi član niza:

k=6

DODATNO OBJAŠNJENJE

\frac {k}6=8-7

\frac {k}6=1

517.Zadatak

517.
Zadatak