Podeli

507.
Zadatak

TEKST ZADATKA

Naći sve članove u razvoju $\big( \frac 1 {\sqrt{x}}+\sqrt[3]{x} \big)^{12} , x>0$ kod kojih se $x$ pojavljuje sa celobrojnim eksponentom.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $n=12$

T_{k+1}=\binom{12}{k} \bigg(\frac 1 {\sqrt{x}} \bigg)^{12-k} (\sqrt[3]{x})^k =\binom{12}{k} x^{\frac{5k}6-6}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{12}{k} \bigg(\frac 1 {\sqrt{x}} \bigg)^{12-k} (\sqrt[3]{x})^k = \binom{12}{k} (x^{-\frac 12})^{12-k}(x^{\frac 13})^k=\binom{12}{k} x^{-\frac 12(12-k)}x^{\frac k3}=\binom{12}{k} x^{-6+\frac k 2+\frac k3}=\binom{12}{k} x^{\frac{5k}6-6}

Eksponent $\frac {5k} 6$ treba biti ceo broj i to takav da $k\leq12 .$ Uslovi su ispunjeni za $k=0, \ k=6, \ k=12 .$

\frac {5\cdot 0} 6=0\in N \quad\land \quad \frac {5\cdot6} 6=\frac {30}6=5\in N\quad\land \quad \frac {5\cdot 12} 6=\frac {60}6=10\in N

Za $k=0, \ k=6, \ k=12$ članovi su redom:

T_{1}=\binom{12}{0} x^{\frac{5\cdot 0}6-6}=x^{-6}, \quad T_{7}=\binom{12}{6} x^{\frac{5\cdot 6}6-6}=924x^{-1}, \quad T_{13}=\binom{12}{12} x^{\frac{5\cdot 12}6-6}=x^{4}

DODATNO OBJAŠNJENJE

\binom{12}{0} = \frac{12!}{(12-0)! \space 0!}=\frac{12!}{12!} =1

\binom{12}{6} = \frac{12!}{(12-6)! \space 6!}=\frac{12!}{6!\space 6!} = \frac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1} =\frac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1}= 924

\binom{12}{12} = \frac{12!}{(12-12)! \space 12!}=\frac{12!}{12!} =1

507.Zadatak