Racionalni članovi u razvoju sa korenima 3 i 2

TEKST ZADATKA

Naći članove u razvoju $(\sqrt[3]{3}+\sqrt{2})^5$ koji nisu iracionalni.

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde je: $a=\sqrt[3]{3},$ $b=\sqrt{2},$ $n=5$

T_{k+1}=\binom{5}{k} (\sqrt[3]{3})^{5-k}(\sqrt{2})^k=\binom{5}{k} 3^{\frac13(5-k)}2^{\frac 12 k}

Eksponenti $\frac {5-k} 3$ i $\frac k 2$ trebaju biti celi brojevi i to takvi da $k\leq5 .$ Uslovi su ispunjeni jedino za $k=2 .$

\frac {5-2} 3=\frac 3 3=1 \in N \quad \land \quad \frac 2 2=1\in N

Kako je $k=2$ i indeksiranje počinje od 0, zaključuje se da je u pitanju treći član niza.

T_{3}=\binom{5}{3} 3^{\frac {5-2} 2}2^{\frac 22 }=10\cdot 3\cdot 2=60

13. Binomna formula