490. Zadatak | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

U razvoju $(\sqrt[3]{a}+\sqrt{a^{-1}})^{15} , a>0 ,$ naći član koji ne zavisi od $a.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} x^{(n-k)} y^k,$ gde je: $n=15,$ $x=\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}},$ $y=\sqrt{a^{-1}} = a^{-\frac{1}{2}}$

T_{k+1}=\binom{15}{k} (a^{\frac13})^{15-k} (a^{-\frac 12})^k = \binom{15}{k} a^{\frac {15-k} 3} a^{-\frac k2} =\binom{15}{k} a^{\frac {30-2k-3k} 6} =\binom{15}{k} a^{\frac {30-5k} 6}

Potrebno je pronaći član koji ne zavisi od $a,$ što znači da eksponent uz $a$ treba biti jednak nuli.

\frac {30-5k} 6=0

Rešavanjem jednačine dobija se:

k=6

Kako je $k=6$ i indeksiranje počinje od 0, zaključuje se da je u pitanju sedmi član niza.

T_7=\binom{15}{6} a^{\frac {30-5\cdot6} 6} =5005

9. Binomna formula