489. Zadatak | Balkan Tutor

TEKST ZADATKA

U razvoju binoma $\big(x^2+\frac a x\big)^m, \ x\not=0, \ m\in N ,$ koeficijenti četvrtog i trinaestog člana su međusobno jednaki. Naći član koji ne sadrži $x.$

REŠENJE ZADATKA

Odrediti opšti član binomnog razvoja po formuli: $T_{k+1}=\binom{n}{k} a^{(n-k)} b^k,$ gde su: $n=m,$ $a=x^2,$ $b=\frac{a}{x}$

T_{k+1}=\binom{m}{k} (x^2)^{m-k} \bigg(\frac a x\bigg)^k = \binom{m}{k} x^{2\cdot(m-k)} a^k x^{-k}= \binom{m}{k} x^{2m-2k-k} a^k = \binom{m}{k} x^{2m-3k} a^k

Postaviti uslov da binomni koeficijenti četvrtog i trineastog člana budu jednaki:

\binom {m}{3}=\binom m {12}

Iskoristiti svojstvo simetrije binomnih koeficijenata: $\binom{m}{k} = \binom{m}{m-k}.$ To znači da se $\binom{m}{3}$ može zapisati kao $\binom{m}{m-3}.$

\binom {m}{m-3}=\binom m {12}

Pošto su binomni koeficijenti s istim gornjim indeksom jednaki samo ako su im donji indeksi identični mora da važi jednakost:

m-3 = 12 \quad \implies \quad m=15

Potrebno je pronaći član koji ne sadrži $x,$ što znači da eksponent uz $x$ treba biti jednak nuli.

2m-3k=0

Rešavanjem jednačine i uvrštavanjem $m = 15$ dobija se:

k=10

Traženi član binomnog razvoja koji ne sadrži $x$ odgovara $k=10,$ a pošto indeksiranje počinje od 0, to je jedanaesti član.

T_{11}= \binom{15}{10} x^{2\cdot15-3\cdot10} a^{10}=3003a^{10}

8. Binomna formula