TEKST ZADATKA
Naći srednji član u razvoju binoma (a−2a−5aa−2)m,a>0,m∈N, ako se zna da se koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao 14:3.
REŠENJE ZADATKA
Postaviti uslov da se binomni koeficijenti petog i trećeg člana odnose kao 14:3.
(4m):(2m)=14:3 Primeniti formulu za binomni koeficijent: (kn)=(n−k)! k!n!.
(m−4)! 4!m!:(m−2)! 2!m!=14:3 Rešavanjem jednačine dobija se:
3 (m−4)! 4!m!=14 (m−2)! 2!m! 3 (m−4)! 4⋅3⋅2⋅1m(m−1)(m−2)(m−3)(m−4)!=14 (m−2)! 2⋅1m(m−1)(m−2)! 3(m−4)! 4⋅3⋅2⋅1m(m−1)(m−2)(m−3)(m−4)!=14(m−2)! 2⋅1m(m−1)(m−2)! 8m(m−1)(m−2)(m−3)=7m(m−1) 8⋅7m(m−1)m(m−1)(m−2)(m−3)=1 8⋅7m(m−1)m(m−1)(m−2)(m−3)=1 56(m−2)(m−3)=1 (m−2)(m−3)=56 m2−3m−2m+6−56=0 m2−5m−50=0 m1,2=25±25+200 m1,2=25±15 m1=−5∨m2=10 Pošto m∈N, prihvatljivo rešenje je:
Odrediti srednji član binomnog razvoja po formuli: Tk+1=(kn)x(n−k)yk, gde su: n=m=10, k=5, x=a−2⋅a=a−23 i y=5aa−2=a−105
T6=(510)(a−23)10−5(−a−105)5=(−1)5⋅252⋅a−215−1025=−252a−10100=−252a−10 (510)=(10−5)! 5!10!=5! 5!10!=5! 5⋅4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5!=5⋅4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7⋅6=252