Binomni koeficijenti: jednačina po k

TEKST ZADATKA

Odrediti $k\in N$ ako je $11\binom k{22}=100\binom {k-2}{21}.$

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za binomni koeficijent: $\binom n k=\frac {n!} {(n-k)!\ k!}$

11 \cdot \frac {k!} {(k-22)! \ 22!}=100 \cdot \frac {(k-2)!} {(k-23)! \ 21!}

Srediti izraz.

11 \cdot \frac {k(k-1)(k-2)!} {(k-22)(k-23)! \ 22\cdot 21!}=100 \cdot \frac {(k-2)!} {(k-23)! \ 21!}

Skratiti zajedničke činioce:

11 \cdot \frac {k(k-1)\cancel{(k-2)!}} {(k-22)\cancel{(k-23)!} \ 22\cdot \cancel{21!}}=100 \cdot \frac {\cancel{(k-2)!}} {\cancel{(k-23)!} \ \cancel{21!}}

\frac {11k(k-1)} {22(k-22)}=100

Unakrsno pomnožiti izraz:

11k(k-1)=100\cdot 22(k-22)

Podeliti izraz sa 11:

k(k-1)=200(k-22)

Osloboditi se zagrada:

k^2-k=200k-4400

Prebaciti sve članove na jednu stranu znaka jednakosti:

k^2-201k+4400=0

Rešavanjem kvadratne jednačine dobija se:

k_1=176 \quad \lor \quad k_2=-25

Pošto $k \in \mathbb{N},$ prihvatljivo rešenje je:

k=176

31. Binomna formula