5398. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Iz $(x\pm1)^2\geq0$ sledi $-1\leq\frac{2x}{x^2+1}\leq1 ,$ pa je funkcija definisana i neprekidna na $\mathbb{R} ,$ bez vertikalnih asimptota. Funkcija je neparna ( $y(-x)=-y(x)$ ), pa je dovoljno posmatrati $x\to+\infty .$

Označimo $u=\frac{2x}{x^2+1}$ i $\alpha=\arcsin u$ ; kada $x\to+\infty ,$ $u\to0$ i $\alpha\to0 ,$ a $\frac{\alpha}{u}=\frac{\alpha}{\sin\alpha}\to1 .$ Pošto je $(x^2+1)u=2x :$

k=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+1)u}{x}\cdot\frac{\alpha}{u}=\lim_{x\to+\infty}2\cdot\frac{\alpha}{\sin\alpha}=2

Za $n :$ $y-2x=(x^2+1)(\alpha-u)=(x^2+1)(\alpha-\sin\alpha) .$ Za $0<\alpha<\frac\pi2$ važi $\sin\alpha<\alpha<\operatorname{tg}\alpha$ (poređenje površina na jediničnoj kružnici), pa je:

0<\alpha-\sin\alpha<\operatorname{tg}\alpha-\sin\alpha=\sin\alpha\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}

Množimo sa $x^2+1$ ; pošto je $(x^2+1)\sin\alpha=2x$ i $1-\cos\alpha=2\sin^2\frac\alpha2\leq\frac{\alpha^2}2 :$

0<y-2x<\frac{2x(1-\cos\alpha)}{\cos\alpha}\leq\frac{x\alpha^2}{\cos\alpha}=\frac{x\,u^2}{\cos\alpha}\left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^2

Kako je $u<\frac2x ,$ to je $xu^2<\frac4x\to0 ,$ a ostali činioci teže $1 .$ Desna strana teži nuli, pa i $y-2x\to0 ,$ tj. $n=0 .$ Zbog neparnosti isto važi i za $x\to-\infty .$

Brojevima:

\begin{gathered}x=10:\ y-2x\approx0{,}1331 \\ x=100:\ y-2x\approx0{,}0133 \\ x=-100:\ y-2x\approx-0{,}0133\end{gathered}

Rešenje: kosa asimptota je $y=2x$ (i za $x\to+\infty$ i za $x\to-\infty$ ).

Započni učenje

Online časovi

145.d

Beleške