5401. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Važna napomena o korenima kada $x\to-\infty :$ tada je $x$ negativan, pa je $\sqrt{x^2}=-x$ (npr. $\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5)$ ). Zato pri izvlačenju $x$ ispred kvadratnog (ili četvrtog) korena za negativno $x$ izvlačimo $-x :$ $\sqrt{x^2A}=-x\sqrt A .$ Kod trećeg korena toga nema: $\sqrt[3]{x^3A}=x\sqrt[3]A$ za svako $x .$

Oblast definisanosti: $x^2+x+1>0$ uvek, a $x^2-x\geq0$ za $x\leq0$ ili $x\geq1 ,$ pa domen ide u obe beskonačnosti. Razliku korena množimo i delimo njihovim zbirom:

f(x)=\frac{(x^2+x+1)-(x^2-x)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x}}=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x}}

Kada $x\to+\infty ,$ izvlačimo $x$ ispred korena i delimo sa $x :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac1x}{\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}+\sqrt{1-\frac1x}}=\frac{2}{1+1}=1

Kada $x\to-\infty ,$ ispred korena izvlačimo $-x ,$ pa u imeniocu dobijamo $-x(\dots)$ ; delimo sa $x :$

\lim_{x\to-\infty}\frac{2+\frac1x}{-\left(\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}+\sqrt{1-\frac1x}\right)}=\frac{2}{-2}=-1

Rešenje: horizontalne asimptote su $y=1$ za $x\to+\infty$ i $y=-1$ za $x\to-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

146.a

Beleške