5389. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Važna napomena o korenima kada $x\to-\infty :$ tada je $x$ negativan, pa je $\sqrt{x^2}=-x$ (npr. $\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5)$ ). Zato pri izvlačenju $x$ ispred kvadratnog (ili četvrtog) korena za negativno $x$ izvlačimo $-x :$ $\sqrt{x^2A}=-x\sqrt A .$ Kod trećeg korena toga nema: $\sqrt[3]{x^3A}=x\sqrt[3]A$ za svako $x .$

Kvadratni koren zahteva $x^2-2x=x(x-2)\geq0 ,$ tj. $x\leq0$ ili $x\geq2 .$ Funkcija je neprekidna na domenu (i u krajevima $0$ i $2$ ), pa vertikalnih asimptota nema.

Kada $x\to+\infty :$ dodamo i oduzmemo $x .$ Sa $A=\sqrt[3]{x^3+3x^2}$ je $A-x=\frac{3x^2}{A^2+Ax+x^2}\to1 ,$ a $\sqrt{x^2-2x}-x=\frac{-2x}{\sqrt{x^2-2x}+x}=\frac{-2}{\sqrt{1-\frac2x}+1}\to-1 :$

\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\big[(A-x)-(\sqrt{x^2-2x}-x)\big]=1-(-1)=2

Kada $x\to-\infty :$ treći koren se ponaša kao $x ,$ a kvadratni kao $-x ,$ pa je $y\approx x-(-x)=2x .$ Računamo $k :$

k=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{1+\frac3x}-\frac{-x\sqrt{1-\frac2x}}{x}\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt[3]{1+\frac3x}+\sqrt{1-\frac2x}\right)=2

Za $n :$ $y-2x=(A-x)-\left(\sqrt{x^2-2x}+x\right) .$ Prvi deo opet teži $1 .$ Drugi racionališemo; imenilac je $\sqrt{x^2-2x}-x=-x\left(\sqrt{1-\frac2x}+1\right) :$

\sqrt{x^2-2x}+x=\frac{x^2-2x-x^2}{\sqrt{x^2-2x}-x}=\frac{-2x}{-x\left(\sqrt{1-\frac2x}+1\right)}\to\frac{2}{2}=1 \implies n=1-1=0

Rešenje: horizontalna asimptota $y=2$ za $x\to+\infty$ i kosa asimptota $y=2x$ za $x\to-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

144.đ

Beleške