5387. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Oblast definisanosti: $\frac{(x+1)^3}{x}\geq0 ,$ $x\neq0 .$ Izraz $(x+1)^3$ ima znak kao $x+1 ,$ pa razlomak nije negativan kada su $x+1$ i $x$ istog znaka (ili je $x=-1$ ): $x>0$ ili $x\leq-1 .$ Dakle $D=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty) .$

Vertikalna asimptota: jedina „rupa” je $x=0 ,$ kojoj prilazimo samo sa desne strane. Brojilac teži $1 ,$ a imenilac je mali pozitivan broj:

\lim_{x\to0+}\sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}}=+\infty

Zapišimo funkciju pogodnije: $\frac{(x+1)^3}{x}=(x+1)^2\cdot\frac{x+1}{x}=(x+1)^2\left(1+\frac1x\right) .$ Za $x>0$ je $x+1>0 ,$ pa je $\sqrt{(x+1)^2}=x+1 .$ Za $x<-1$ je $x+1<0 ,$ pa je $\sqrt{(x+1)^2}=-(x+1) :$

y=\begin{cases}(x+1)\sqrt{1+\frac1x}, & x>0\\ -(x+1)\sqrt{1+\frac1x}, & x\leq-1\end{cases}

Kada $x\to+\infty :$ $k=\lim\frac{x+1}{x}\sqrt{1+\frac1x}=1 .$ Za $n$ razdvajamo $y-x=x\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\sqrt{1+\frac1x} ,$ a prvi sabirak racionališemo:

x\left(\sqrt{1+\tfrac1x}-1\right)=\frac{x\cdot\frac1x}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\frac12 \implies n=\frac12+1=\frac32

Kada $x\to-\infty :$ $k=\lim\frac{-(x+1)}{x}\sqrt{1+\frac1x}=-1 ,$ a $y+x=-\left[x\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)+\sqrt{1+\frac1x}\right] ,$ što prema istom računu teži $-\left(\frac12+1\right) :$

n=\lim_{x\to-\infty}(y+x)=-\frac32

Rešenje: vertikalna asimptota je $x=0$ (sa desne strane); kosa asimptota $y=x+\frac32$ za $x\to+\infty$ i kosa asimptota $y=-x-\frac32$ za $x\to-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

144.b

Beleške