5386. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Treći koren je definisan za svaki realan broj, pa je funkcija definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R}$ — nema vertikalnih asimptota. Množenjem zagrada pod korenom:

(x-2)^2(x+1)=(x^2-4x+4)(x+1)=x^3-3x^2+4

Koeficijent $k :$ deljenje sa $x$ unosimo pod treći koren kao deljenje sa $x^3 :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt[3]{x^3-3x^2+4}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{1-\frac3x+\frac4{x^3}}=1

Koeficijent $n :$ sa $A=\sqrt[3]{x^3-3x^2+4}$ koristimo $A-x=\frac{A^3-x^3}{A^2+Ax+x^2} .$ Brojilac je $-3x^2+4 ,$ a imenilac se ponaša kao $3x^2$ (jer $\frac Ax\to1$ ); delimo sa $x^2 :$

n=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-3x^2+4}{A^2+Ax+x^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-3+\frac4{x^2}}{\left(\frac Ax\right)^2+\frac Ax+1}=\frac{-3}{3}=-1

Rešenje: kosa asimptota je $y=x-1$ (i za $x\to+\infty$ i za $x\to-\infty$ ); drugih asimptota nema.

Započni učenje

Online časovi

144.a

Beleške