143.z

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Za istu stranu ($+\infty$ ili $-\infty$) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Kod racionalne funkcije (količnika polinoma) dovoljno je podeliti brojilac imeniocem: ako je $f(x)=kx+n+\frac{R(x)}{Q(x)} ,$ gde ostatak $R$ ima manji stepen od imenioca $Q ,$ onda $\frac{R(x)}{Q(x)}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa je $y=kx+n$ asimptota (kosa za $k\neq0 ,$ horizontalna za $k=0$).

Kosa asimptota: $\frac1{x^2}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa se grafik približava pravoj $y=-x$ ($k=-1 ,$ $n=0$).

Rešenje: vertikalna asimptota je $x=0 ,$ a kosa asimptota $y=-x .$