5379. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Kod racionalne funkcije (količnika polinoma) dovoljno je podeliti brojilac imeniocem: ako je $f(x)=kx+n+\frac{R(x)}{Q(x)} ,$ gde ostatak $R$ ima manji stepen od imenioca $Q ,$ onda $\frac{R(x)}{Q(x)}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa je $y=kx+n$ asimptota (kosa za $k\neq0 ,$ horizontalna za $k=0$ ).

Imenilac: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2) .$ U tačkama $1$ i $2$ brojilac je $3 ,$ odnosno $31$ (nije nula), pa su $x=1$ i $x=2$ vertikalne asimptote.

Znak beskonačnosti određujemo iz znaka brojioca i znaka (malog) imenioca sa svake strane. Levo od $1$ oba činioca su negativna (imenilac $>0$ ), između $1$ i $2$ imenilac je negativan, a desno od $2$ pozitivan. Brojilac je pozitivan u obe tačke:

\lim_{x\to1-}y=+\infty, \quad \lim_{x\to1+}y=-\infty, \quad \lim_{x\to2-}y=-\infty, \quad \lim_{x\to2+}y=+\infty

Kosa asimptota: delimo polinome. Prvi član količnika je $\frac{4x^3}{x^2}=4x$ ; $4x(x^2-3x+2)=4x^3-12x^2+8x ,$ ostatak $12x^2-8x-1 .$ Sledeći član je $12$ ; $12(x^2-3x+2)=12x^2-36x+24 ,$ ostatak $28x-25 :$

y=4x+12+\frac{28x-25}{x^2-3x+2}

Poslednji razlomak teži nuli (stepen brojioca manji od stepena imenioca), pa je kosa asimptota $y=4x+12 .$ Provera po formulama:

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x^3-1}{x^3-3x^2+2x}=4, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4x^3-1-4x(x^2-3x+2)}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{12x^2-8x-1}{x^2-3x+2}=12

Rešenje: vertikalne asimptote su $x=1$ i $x=2 ,$ a kosa asimptota je $y=4x+12 .$

Započni učenje

Online časovi

143.g

Beleške