5383. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Kod racionalne funkcije (količnika polinoma) dovoljno je podeliti brojilac imeniocem: ako je $f(x)=kx+n+\frac{R(x)}{Q(x)} ,$ gde ostatak $R$ ima manji stepen od imenioca $Q ,$ onda $\frac{R(x)}{Q(x)}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa je $y=kx+n$ asimptota (kosa za $k\neq0 ,$ horizontalna za $k=0$ ).

Imenilac rastavljamo (brojevi sa zbirom $-1$ i proizvodom $-2$ su $1$ i $-2$ ): $x^2+x-2=(x+2)(x-1) .$ Funkcija nije definisana za $x=-2$ i $x=1$ ; u tim tačkama brojilac nije nula ( $-5 ,$ odnosno $1$ ), pa vrednosti rastu neograničeno.

Znak beskonačnosti određujemo iz znaka brojioca i znaka (malog) imenioca sa svake strane. Za $x=-2 :$ brojilac $\to-5$ ; levo od $-2$ oba činioca imenioca su negativna (imenilac $>0$ ), desno je $x+2>0 ,$ $x-1<0$ (imenilac $<0$ ):

\lim_{x\to-2-}y=-\infty, \qquad \lim_{x\to-2+}y=+\infty

Za $x=1 :$ brojilac $\to1$ ; levo od $1$ imenilac je negativan, desno pozitivan:

\lim_{x\to1-}y=-\infty, \qquad \lim_{x\to1+}y=+\infty

Horizontalna asimptota: stepen brojioca ( $1$ ) manji je od stepena imenioca ( $2$ ). Delimo sa $x^2 :$

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac2x-\frac1{x^2}}{1+\frac1x-\frac2{x^2}}=\frac01=0

Rešenje: vertikalne asimptote su $x=-2$ i $x=1 ,$ a horizontalna asimptota je $y=0 .$

Započni učenje

Online časovi

143.v

Beleške