5375. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Kod racionalne funkcije (količnika polinoma) dovoljno je podeliti brojilac imeniocem: ako je $f(x)=kx+n+\frac{R(x)}{Q(x)} ,$ gde ostatak $R$ ima manji stepen od imenioca $Q ,$ onda $\frac{R(x)}{Q(x)}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa je $y=kx+n$ asimptota (kosa za $k\neq0 ,$ horizontalna za $k=0$ ).

Oblast definisanosti: $x\neq0 .$ Deljenjem svakog člana brojioca sa $x^3$ dobijamo pregledan oblik:

y=\frac{2x^4}{x^3}+\frac{x^3}{x^3}+\frac{1}{x^3}=2x+1+\frac{1}{x^3}

Vertikalna asimptota $x=0 :$ sabirak $\frac1{x^3}$ je neograničen. Za mali pozitivan $x$ je $x^3>0 ,$ a za mali negativan $x^3<0 :$

\lim_{x\to0-}y=-\infty, \qquad \lim_{x\to0+}y=+\infty

Kosa asimptota: $\frac1{x^3}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa se grafik približava pravoj $y=2x+1 .$ Isto dobijamo i po formulama:

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^4+x^3+1}{x^4}=2, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}(y-2x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac1{x^3}\right)=1

Rešenje: vertikalna asimptota je $x=0 ,$ a kosa asimptota $y=2x+1$ (i za $x\to+\infty$ i za $x\to-\infty$ ).

Započni učenje

Online časovi

143.b

Beleške