5378. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Kod racionalne funkcije (količnika polinoma) dovoljno je podeliti brojilac imeniocem: ako je $f(x)=kx+n+\frac{R(x)}{Q(x)} ,$ gde ostatak $R$ ima manji stepen od imenioca $Q ,$ onda $\frac{R(x)}{Q(x)}\to0$ kada $x\to\pm\infty ,$ pa je $y=kx+n$ asimptota (kosa za $k\neq0 ,$ horizontalna za $k=0$ ).

Imenilac $3-x^2$ je nula za $x=\pm\sqrt3 .$ Brojilac je tamo $3\sqrt3-5\approx0{,}196 ,$ odnosno $-3\sqrt3-5\approx-10{,}2$ — nije nula, pa su $x=\pm\sqrt3$ vertikalne asimptote.

Znak beskonačnosti određujemo iz znaka brojioca i znaka (malog) imenioca sa svake strane. Imenilac $3-x^2$ je pozitivan za $-\sqrt3<x<\sqrt3 ,$ a negativan van tog intervala:

\lim_{x\to-\sqrt3-}y=+\infty, \quad \lim_{x\to-\sqrt3+}y=-\infty, \quad \lim_{x\to\sqrt3-}y=+\infty, \quad \lim_{x\to\sqrt3+}y=-\infty

Kosa asimptota: $x^3-5=-x(3-x^2)+3x-5$ (proverimo: $-x(3-x^2)=x^3-3x$ ), pa je:

y=-x+\frac{3x-5}{3-x^2}

Razlomak teži nuli, pa je kosa asimptota $y=-x .$

Rešenje: vertikalne asimptote su $x=-\sqrt3$ i $x=\sqrt3 ,$ a kosa asimptota je $y=-x .$

Započni učenje

Online časovi

143.e

Beleške