5399. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Važna napomena o korenima kada $x\to-\infty :$ tada je $x$ negativan, pa je $\sqrt{x^2}=-x$ (npr. $\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5)$ ). Zato pri izvlačenju $x$ ispred kvadratnog (ili četvrtog) korena za negativno $x$ izvlačimo $-x :$ $\sqrt{x^2A}=-x\sqrt A .$ Kod trećeg korena toga nema: $\sqrt[3]{x^3A}=x\sqrt[3]A$ za svako $x .$

Imenilac: $2x^2+4x+4=2(x+1)^2+2>0 .$ Arkus sinus zahteva da argument bude između $-1$ i $1 ,$ tj. $x^2\leq2x^2+4x+4 ,$ što je isto što i $(x+2)^2\geq0$ — uvek tačno. Funkcija je definisana i neprekidna na $\mathbb{R} ,$ bez vertikalnih asimptota.

Kada $x\to+\infty :$ $\sqrt{2x^2+4x+4}=x\sqrt{2+\frac4x+\frac4{x^2}} ,$ pa argument teži $\frac1{\sqrt2} .$ Kada $x\to-\infty ,$ izvlačimo $-x ,$ pa argument teži $-\frac1{\sqrt2} :$

\lim_{x\to+\infty}y=\arcsin\frac{\sqrt2}2=\frac\pi4, \qquad \lim_{x\to-\infty}y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}2\right)=-\frac\pi4

Rešenje: horizontalne asimptote su $y=\frac\pi4$ za $x\to+\infty$ i $y=-\frac\pi4$ za $x\to-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

145.g

Beleške