145.v

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Za istu stranu ($+\infty$ ili $-\infty$) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Funkcija nije definisana samo za $x=-1 .$ Prvi sabirak je tamo jednak $\frac{-1}{2} ,$ a $\operatorname{arctg}$ je uvek između $-\frac\pi2$ i $\frac\pi2 .$ Zato je funkcija ograničena u okolini tačke $-1$ (jednostrane granične vrednosti su $-\frac12\pm\pi$), pa vertikalnih asimptota nema.

Rešenje: horizontalna asimptota je $y=-\frac\pi2$ (i za $x\to+\infty$ i za $x\to-\infty$); drugih asimptota nema.