5395. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Izraz $1+e^x$ je uvek veći od $1 ,$ pa je funkcija definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R}$ (i pozitivna) — vertikalnih asimptota nema.

Kada $x\to-\infty :$ $e^x\to0 ,$ pa $y\to\ln1=0 .$ Prava $y=0$ je horizontalna asimptota sa leve strane:

\lim_{x\to-\infty}\ln(1+e^x)=0

Kada $x\to+\infty :$ izvlačimo $e^x :$ $1+e^x=e^x(1+e^{-x}) ,$ pa je $\ln(1+e^x)=x+\ln(1+e^{-x}) .$ Drugi sabirak teži $\ln1=0 :$

k=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\ln(1+e^{-x})}{x}\right)=1, \qquad n=\lim_{x\to+\infty}\ln(1+e^{-x})=0

Rešenje: horizontalna asimptota $y=0$ za $x\to-\infty$ i kosa asimptota $y=x$ za $x\to+\infty .$

Započni učenje

Online časovi

144.ž

Beleške