5390. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Važna napomena o korenima kada $x\to-\infty :$ tada je $x$ negativan, pa je $\sqrt{x^2}=-x$ (npr. $\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5)$ ). Zato pri izvlačenju $x$ ispred kvadratnog (ili četvrtog) korena za negativno $x$ izvlačimo $-x :$ $\sqrt{x^2A}=-x\sqrt A .$ Kod trećeg korena toga nema: $\sqrt[3]{x^3A}=x\sqrt[3]A$ za svako $x .$

Izraz pod korenom je $x^2(x^2+4x+8)=x^2\left((x+2)^2+4\right)\geq0 ,$ pa je funkcija definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R}$ — vertikalnih asimptota nema. Označimo $A=\sqrt[4]{x^4+4x^3+8x^2} .$

Kada $x\to+\infty :$ $A=x\sqrt[4]{1+\frac4x+\frac8{x^2}} ,$ pa je $k=1 .$ Za $n$ koristimo $A^4-x^4=(A-x)(A+x)(A^2+x^2) :$

n=\lim_{x\to+\infty}(A-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^3+8x^2}{(A+x)(A^2+x^2)}=\frac{4}{2\cdot2}=1

(Delili smo brojilac i imenilac sa $x^3$ ; $\frac Ax\to1 ,$ pa $\frac{A+x}{x}\to2$ i $\frac{A^2+x^2}{x^2}\to2 .$ ) Kada $x\to-\infty :$ $A=-x\sqrt[4]{1+\frac4x+\frac8{x^2}} ,$ pa je $k=-1$ i:

n=\lim_{x\to-\infty}(A+x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{A^4-x^4}{(A-x)(A^2+x^2)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^3+8x^2}{(A-x)(A^2+x^2)}=\frac{4}{(-2)\cdot2}=-1

(Ovde je $\frac Ax\to-1 ,$ pa $\frac{A-x}{x}\to-2 .$ )

Rešenje: kosa asimptota $y=x+1$ za $x\to+\infty$ i kosa asimptota $y=-x-1$ za $x\to-\infty .$

Započni učenje

Online časovi

144.e

Beleške