5396. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Funkcija je definisana za $x\neq0$ ; zapišimo je kao $y=(x-2)e^{-\frac1x} .$ Kada $x\to0- :$ $-\frac1x\to+\infty ,$ pa $e^{-\frac1x}\to+\infty ,$ a $x-2\to-2 .$ Kada $x\to0+ :$ $-\frac1x\to-\infty ,$ pa $e^{-\frac1x}\to0 :$

\lim_{x\to0-}y=-\infty, \qquad \lim_{x\to0+}y=-2\cdot0=0

Dakle, $x=0$ je vertikalna asimptota, ali samo sa leve strane. Brojevima:

\begin{gathered}x=-0{,}1:\ y\approx-46255{,}5782 \\ x=-0{,}05:\ y\approx-9{,}95\cdot10^{8} \\ x=0{,}05:\ y\approx-4{,}02\cdot10^{-9}\end{gathered}

Kosa asimptota: kada $x\to\pm\infty ,$ $e^{-\frac1x}\to1 :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x}e^{-\frac1x}=1

Za $n :$ $y-x=x\left(e^{-\frac1x}-1\right)-2e^{-\frac1x} .$ Sa smenom $u=-\frac1x\to0$ je $x\left(e^{-\frac1x}-1\right)=-\frac{e^u-1}{u}\to-1$ (važna granična vrednost $\frac{e^u-1}{u}\to1$ ):

n=\lim_{x\to\pm\infty}(y-x)=-1-2=-3

Rešenje: vertikalna asimptota je $x=0$ (kada $x\to0-$ ), a kosa asimptota $y=x-3 .$

Započni učenje

Online časovi

145.a

Beleške