5388. Asimptote grafika funkcija

Podsetimo se definicije: prava $x=a$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$ ili $\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$ (pri čemu $\infty$ može biti $+\infty$ ili $-\infty$ ). Jednostavno rečeno: kada $x$ prilazi broju $a$ bar sa jedne strane, grafik se „penje” ili „spušta” neograničeno uz pravu $x=a .$ Kandidati za vertikalne asimptote su tačke u kojima funkcija nije definisana (npr. nule imenioca) i konačni krajevi oblasti definisanosti.

Prava $y=b$ je horizontalna asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ ako je $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ili $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b .$ Tada se grafik za veoma velike (odnosno veoma male) $x$ približava pravoj $y=b .$

Prava $y=ax+b$ je kosa asimptota grafika funkcije $y=f(x)$ kada $x\to+\infty$ ako je $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 ,$ odnosno ako je $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a$ i $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b .$ Slično se definiše kosa asimptota kada $x\to-\infty ,$ i moguće je da funkcija za $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ ima dve različite kose asimptote. Jednostavno rečeno: rastojanje između grafika i prave teži nuli. Da se slova ne bi mešala sa parametrima i oznakama u zadacima, koeficijente kose asimptote u rešenjima označavamo sa $k$ i $n ,$ tj. asimptota je $y=kx+n :$

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big)

Za istu stranu ( $+\infty$ ili $-\infty$ ) grafik može imati ili horizontalnu ili kosu asimptotu, ali ne obe. Kada je $k=0 ,$ kosa asimptota „postaje” horizontalna.

Četvrti koren zahteva $x^3-1\geq0 ,$ tj. $x\geq1 .$ Na intervalu $[1,+\infty)$ funkcija je neprekidna (imenilac nije nula), pa vertikalnih asimptota nema, a ima smisla samo $x\to+\infty .$

Deljenje sa $x$ unosimo pod četvrti koren kao deljenje sa $x^4 :$

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x^3-1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt[4]{\frac1x-\frac1{x^4}}=0

Brojevima:

\begin{gathered}x=10:\ y\approx0{,}5622 \\ x=1000:\ y\approx0{,}1778 \\ x=1\cdot10^{6}:\ y\approx0{,}0316\end{gathered}

Rešenje: horizontalna asimptota je $y=0$ (za $x\to+\infty$ ); drugih asimptota nema.

Započni učenje

Online časovi

144.d

Beleške