Aritmetički niz: a100 i S100 iz zbirova članova

TEKST ZADATKA

Zbir prvih pet članova sa parnim indeksom je $15.$ Zbir prva tri člana je $-3.$ Odrediti sledeće:

a_1, d, a_{100}, S_{100}

REŠENJE ZADATKA

Zbir prvih pet članova sa parnim indeksom može se nazvati $S_1$

S_1=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=15

Zbir prva tri člana može se nazvati $S_2$

S_2=a_1+a_2+a_3

Primeniti formulu za opšti član u navedenim zbirovima: $a_k=a_1+(k-1)d:$

S_1=a_1+d+a_1+3d+a_1+5d+a_1+7d+a_1+9d

Srediti izraz:

S_1=5a_1+25d

5a_1+25d=15

Izraziti $a_1:$

a_1=3-5d

Srediti izraz $S_2$

-3=a_1+a_1+d+a_1+2d

-3a_1+3d=-3 \rArr a_1+d=-1

Zameniti $a_1 = 3-5d$

-1=3-5d+d

-4=-4d \rArr d=1

Prvi član $a_1$ naći ubacivanjem izračunate vrednosti $d$ u bilo koju od jednačina:

a_1=3-5d=-2

Primeniti formulu za opšti član $a_k=a_1+(k-1)d$ radi određivanja $a_{100}$

a_{100}=a_1+99d=-2+99=97

Primeniti formulu za računanje aritmetičkog niza: $S=\frac{(a_1+a_k)\cdot k}{2}$

S_{100}=\frac{(a_1+a_{100})\cdot 100}{2}=\frac{(-2+99)\cdot 100}{2}=4750

3. Aritmeticki niz