2930.

972.d

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 2sin⁡x+1>0; 2 \sin x + 1 > 0;

REŠENJE ZADATKA

Prvo, izolujemo sin⁡x \sin x na levoj strani nejednačine tako što prebacimo 1 1 na desnu stranu i podelimo sa 2. 2 .

2sin⁡x>−1  ⟹  sin⁡x>−122 \sin x > -1 \implies \sin x > -\frac{1}{2}

Tražimo uglove na trigonometrijskoj kružnici za koje važi jednakost sin⁡x=−12. \sin x = -\frac{1}{2} . To su uglovi u trećem i četvrtom kvadrantu.

x1=−π6,x2=7π6x_1 = -\frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}

Sa trigonometrijske kružnice vidimo da su vrednosti sinusa (y-koordinate) veće od −12 -\frac{1}{2} za uglove koji se nalaze na luku između −π6 -\frac{\pi}{6} i 7π6. \frac{7\pi}{6} .

x∈(−π6,7π6)x \in \left( -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \right)

Pošto je funkcija sinus periodična sa osnovnim periodom 2π, 2\pi , opšte rešenje dobijamo dodavanjem 2kπ 2k\pi na granice intervala, gde je k k ceo broj.

x∈(−π6+2kπ,7π6+2kπ),k∈Zx \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}