Jednačina sa modulom u argumentu sinusa

Deljenjem jednačine sa 2 dobijamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

\sin \left|2x - \frac{\pi}{3}\right| = \frac{\sqrt{3}}{2}

Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću u posebnom koraku.

\left|2x - \frac{\pi}{3}\right| = \begin{cases} 2x - \frac{\pi}{3}, & \text{za } 2x - \frac{\pi}{3} \ge 0 \\ -\left(2x - \frac{\pi}{3}\right), & \text{za } 2x - \frac{\pi}{3} < 0 \end{cases}

Prvi slučaj: kada je $2x - \frac{\pi}{3} \ge 0 ,$ apsolutna vrednost ostaje nepromenjena.

\sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešenja ove osnovne trigonometrijske jednačine su:

2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Računamo $x$ iz prve grane rešenja.

2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi

Računamo $x$ iz druge grane rešenja.

2x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi

Proveravamo uslov $2x - \frac{\pi}{3} \ge 0$ za dobijena rešenja. Izrazi $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ i $\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ moraju biti nenegativni, što važi za cele brojeve $k \ge 0 .$

x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbf{Z}, k \ge 0

Drugi slučaj: kada je $2x - \frac{\pi}{3} < 0 ,$ apsolutna vrednost menja znak.

\sin \left(-\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Koristeći neparnost sinusne funkcije $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha ,$ jednačina postaje:

-\sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Rešenja ove trigonometrijske jednačine su:

2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2m\pi \quad \lor \quad 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Računamo $x$ iz prve grane rešenja drugog slučaja.

2x = 2m\pi \implies x = m\pi

Računamo $x$ iz druge grane rešenja drugog slučaja.

2x = \frac{5\pi}{3} + 2m\pi \implies x = \frac{5\pi}{6} + m\pi

Proveravamo uslov $2x - \frac{\pi}{3} < 0$ za dobijena rešenja. Izrazi $-\frac{\pi}{3} + 2m\pi$ i $\frac{4\pi}{3} + 2m\pi$ moraju biti negativni.

-\frac{\pi}{3} + 2m\pi < 0 \implies m < \frac{1}{6} \implies m \le 0 \quad \text{i} \quad \frac{4\pi}{3} + 2m\pi < 0 \implies m < -\frac{2}{3} \implies m \le -1

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in \left\{ \frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbf{Z}, k \ge 0 \right\} \cup \left\{ m\pi \mid m \in \mathbf{Z}, m \le 0 \right\} \cup \left\{ \frac{5\pi}{6} + m\pi \mid m \in \mathbf{Z}, m \le -1 \right\}

Započni učenje

Online časovi

895.b

Beleške